Доброго времени суток!
Печатаю тезисы, а они обрубаются постоянно. Вот работающий *.tex файл. Что неверно?
Пусть $G$~--- область в $\mathbb C$ и $\mathfrak B$~--- банахово пространство. Весом будем называть некоторую фиксированную функцию $v:G\rightarrow (0,\infty)$. Обозначим через $\mathcal A(G,\,\mathfrak B)$ пространство Фреше всех аналитических на $G$ функций, действующих в $\mathfrak B$, наделенное топологией $\tau_{\mathtt{co}}$ равномерной сходимости на компактах. Рассмотрим его весовой подкласс:
$$
\mathtt A_v(G):=\left\{f:G\to\mathfrak B,\,f\in \mathcal A(G,\,\mathfrak B):\|f\|_v=\sup\limits_{z\in G}\dfrac{\|f(z)\|_\mathfrak B}{v(z)}<\infty\right\}.
$$
Это пространство является банаховым, когда вес $v$ локально ограничен сверху на $G$.
Для указанных пространств исследуются задачи о нетривиальности и бесконечномерности. В частности, справедлива
\vspace{5pt}
\textbf{Лемма 1.}\textsl{
Нетривиальный класс $\mathtt A_v(G)$ для любых точек $z \in G$ содержит функции, отличные от $0$ в этих точках, тогда и только тогда, когда вес $v$ локально отграничен от $0$ в $G$.
}
Далее, как в [2], введено понятие ассоциированного веса $$\widetilde{v}(z):=\sup\Bigl\{\bigl\|f(z)\bigr\|_\mathfrak B:f\in\mathtt A_v(G) ,\,\|f\|_v\leqslant1\Bigr\},\ z\in G,$$ с весом $v$ и показано, что он задает то же пространство, что и $v$, причем с сохранением нормы. Ассоциированный вес $\widetilde{v}$ является локально липшицевой на $G$ функцией. Это позволяет ограничиться при рассмотрении пространств $\mathtt A_v(G)$ только локально липшицевыми весами.
Отметим, что супремум в определении ассоцированного веса достигается, то есть для любого $z\in G$ существует такая функция $f\in\mathtt A_v(G)$ с $\|f\|_v\leq1$, что $\|f(z)\|_\mathfrak B=\widetilde v(z)$.
Также изучается вопрос о вложении одного пространства в другое, непрерывности и компактности вложений.
\vspace{5pt}
\textbf{Теорема 1.} \textsl{
Cледующие утверждения эквивалентны:\newline $\text{ }\mathcal Y1$:$\quad\ \mathtt A_{v}(G)$ (непрерывно) вложено в $\mathtt A_{w}(G)$;\newline $\text{ }\mathcal Y2$: $\quad\sup\limits_{z\in G}\dfrac{\widetilde v(z)}{w(z)}<\infty$;\newline $\text{ }\mathcal Y3$: $\quad\sup\limits_{z\in G}\dfrac{\widetilde v(z)}{\widetilde w(z)}<\infty$.}
Опираясь на работу [3], сформулируем критерий компактности вложений:
\vspace{5pt}
\textbf{Теорема 2.}\textsl{
$\mathtt A_{v}(G)$ компактно вложено в $\mathtt A_{w}(G)$ тогда и только тогда, когда любая ограниченная последовательность $\{f_n\}\subseteq \mathtt A_v(G)$, такая, что $f_n\to 0$ в топологии $\tau_{\mathtt{co}}$, сходится к нулю в $\mathtt A_w(G)$.}
Наконец, перенося результаты из [1], акцентируем внимание на следующей связи между весами и компактностью вложений:
\vspace{5pt}
\textbf{Теорема 3.}\textsl{
Пусть $G$~--- область в $\mathbb C$. Для компактности вложения $\mathtt A_{v}(G)$ в $\mathtt A_{w}(G)$ достаточно, чтобы $\lim\limits_{z\to\partial G}\dfrac{\widetilde v(z)}{w(z)}=0$, т.\,е. чтобы для любого $\varepsilon>0$ существовал компакт $K$ в $G$, такой, что $\dfrac{\widetilde v(z)}{w(z)}<\varepsilon$ для любого $z\in G\setminus K$. В случае, когда $G\neq\mathbb C$ и дополнение $G$ не имеет одноточечных компонент, данное условие является и необходимым.}
Вопрос о справедливости необходимой части теоремы $3$ в случае, когда $G$ совпадает с $\mathbb C$, является открытым.